Exercicios de Matematica 11 ANO - Funções Racionais - Exercício 1

Considere a função , de domínio $\mathbb{R}\backslash \left\{ { - 2} \right\}$ , definida por $f\left( x \right) = \frac{{4x + 4}}{{x + 2}}$ .

1. Determine o conjunto solução da $f\left( x \right) < 3$ .

2. Indique, justificando, as equações das assíntotas do gráfico de .

3. Determine as coordenadas dos pontos de interseção do gráfico de com os eixos coordenados.

Exercicios de Matematica 11 ANO - Funções Racionais - Exercício 1→

Exercicios de Matematica 12 ANO - Função definida por ramos - Exercício 1

Considere a função , de domínio $\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}$ , definida por:

$f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{{e^x} - 1}}{{{e^{4x}} - 1}}}&{{\text{se}}}&{x < 0}\\ {x\ln \left( x \right)}&{{\text{se}}}&{x > 0} \end{array}} \right.$

Resolva os itens 4.1. e 4.2., recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora.

1. Estude a função quanto à existência de assíntotas verticais do seu gráfico.

2. Seja a função, de domínio ${\mathbb{R}^ + }$ , definida por $g\left( x \right) = f\left( x \right) - x + {\ln ^2}x$ .

Estude a função quanto à monotonia e quanto à existência de extremos relativos em $\left] {0,e} \right]$ .

3. Resolva este item recorrendo à calculadora.

Considere num referencial o.n. xOy , a representação gráfica da função , de domínio ${\mathbb{R}^ + }$ , definida por $g\left( x \right) = f\left( x \right) - x + {\ln ^2}x$ .

Sabe-se que:

A é o ponto de coordenadas $\left( {2,0} \right)$
B é o ponto de coordenadas $\left( {5,0} \right)$
P é um ponto que se desloca ao longo do gráfico da função .

Para cada posição do ponto P, considere o triângulo [ABP].

Determine as abcissas dos pontos P para os quais a área do triângulo [ABP] é 1.

Na sua resposta, deve:

equacionar o problema;
reproduzir o gráfico da função ou os gráficos das funções que tiver necessidade de visualizar na calculadora, devidamente identificado(s), incluindo o referencial;
indicar as coordenadas dos pontos P com arredondamento às centésimas.

Exercicios de Matematica 12 ANO - Função definida por ramos - Exercício 1→

Exercicios de Matematica 12 ANO - Função definida por ramos - Exercício 2

Considere a função , de domínio $\mathbb{R}$ , definida por:

$f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x\ln \left( {x + 1} \right) - x\ln \left( x \right) + 3x}&{{\text{se}}}&{x > 0} \\ {x{e^{1 - x}}}&{{\text{se}}}&{x \leqslant 0} \end{array}} \right.$

Resolva os itens seguintes, recorrendo a métodos exclusivamente analíticos.

1. Estude a função quanto à existência de assíntotas não verticais do seu gráfico.

2. Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto de abcissa x = - 1 .

Exercicios de Matematica 12 ANO - Função definida por ramos - Exercício 2→

Exame Nacional de Matemática 12º Ano 1ª Fase 2012 - Grupo 2 - Exercício 5

Considere a função , de domínio $\mathbb{R}$ , definida por:

Resolva os itens seguintes, recorrendo a métodos exclusivamente analíticos.

1. Estude a função quanto à existência de assíntotas não verticais do seu gráfico.

2. Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto de abcissa x = - 1 .

Exame Nacional de Matemática 12º Ano 1ª Fase 2012 - Grupo 2 - Exercício 5→

Exercicios de Matematica 11º Funções - Exercício 1

Considere a função , de domínio $\mathbb{R}\backslash \left\{ { - 2} \right\}$ , definida por $f\left( x \right) = \frac{{4x + 4}}{{x + 2}}$ .

1.1. Determine o conjunto solução da $f\left( x \right) < 3$ .

1.2. Indique, justificando, as equações das assíntotas do gráfico de .

1.3. Determine as coordenadas dos pontos de interseção do gráfico de com os eixos coordenados.

Exercicios de Matematica 11º Funções - Exercício 1→

Exame Nacional de Matemática 12º Ano 2ª Fase 2011 - Grupo 2 - Exercício 5

Considere a função $\inline f$ , de domínio $\inline \left[ {0, + \infty } \right[$ , definida por

$\large f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{{e^{2 - x}} - 1}}{{x - 2}}}&{{\text{se}}}&{0 \leqslant x < 2} \\ {\frac{{x + 1}}{{\ln \left( {x + 1} \right)}}}&{{\text{se}}}&{x \geqslant 2} \end{array}} \right.$

Resolva os três itens seguintes recorrendo a métodos exclusivamente analíticos.

Estude quanto à existência de assíntotas verticais do seu gráfico.

Mostre, sem resolver a equação, que $f\left( x \right) = - 3$ tem, pelo menos, uma solução em $\left] {0,\frac{1}{2}} \right[$ .

Estude quanto à monotonia em $\left] {2, + \infty } \right[$ .

Exame Nacional de Matemática 12º Ano 2ª Fase 2011 - Grupo 2 - Exercício 5→

Exame Nacional de Matemática 12º Ano 1ª Fase 2013 - Grupo 2 - Exercício 4

Considere a função , de domínio $\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}$ , definida por:

$f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{{e^x} - 1}}{{{e^{4x}} - 1}}}&{{\text{se}}}&{x < 0}\\ {x\ln \left( x \right)}&{{\text{se}}}&{x > 0} \end{array}} \right.$

Resolva os itens 4.1. e 4.2., recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora.

1. Estude a função quanto à existência de assíntotas verticais do seu gráfico.

2. Seja a função, de domínio ${\mathbb{R}^ + }$ , definida por $g\left( x \right) = f\left( x \right) - x + {\ln ^2}x$ .

Estude a função quanto à monotonia e quanto à existência de extremos relativos em $\left] {0,e} \right]$ .

3. Resolva este item recorrendo à calculadora.

Considere num referencial o.n. xOy , a representação gráfica da função , de domínio ${\mathbb{R}^ + }$ , definida por $g\left( x \right) = f\left( x \right) - x + {\ln ^2}x$ .

Sabe-se que:

A é o ponto de coordenadas $\left( {2,0} \right)$
B é o ponto de coordenadas $\left( {5,0} \right)$
P é um ponto que se desloca ao longo do gráfico da função .

Para cada posição do ponto P, considere o triângulo [ABP].

Determine as abcissas dos pontos P para os quais a área do triângulo [ABP] é 1.

Na sua resposta, deve:

equacionar o problema;
reproduzir o gráfico da função ou os gráficos das funções que tiver necessidade de visualizar na calculadora, devidamente identificado(s), incluindo o referencial;
indicar as coordenadas dos pontos P com arredondamento às centésimas.

Exame Nacional de Matemática 12º Ano 1ª Fase 2013 - Grupo 2 - Exercício 4→

Exame Nacional de Matemática 12º Ano 2ª Fase 2012 - Grupo 2 - Exercício 4

Considere a função , de domínio $\mathbb{R}$ , definida por:

$f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{\operatorname{sen} x}}{{1 - \sqrt {1 - {x^3}} }}}&{{\text{se}}}&{x < 0}\\{1 - {e^{k + 1}}}&{{\text{se}}}&{x = 0}\\{\frac{{1 - {e^{4x}}}}{x}}&{{\text{se}}}&{x > 0}\end{array}} \right.$

com $k \in \mathbb{R}$ .

Resolva os itens seguintes, recorrendo a métodos exclusivamente analíticos.

1. Determine , de modo que $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = f\left( 0 \right)$ .

2. Estude a função quanto à existência de assíntotas verticais do seu gráfico.

3. Seja uma função de domínio ${\mathbb{R}^ + }$ , cuja derivada , de domínio ${\mathbb{R}^ + }$ é dada por $g'\left( x \right) = f\left( x \right) - & \frac{1}{x}$ .

Estude a função quanto ao sentido das concavidades do seu gráfico e quanto à existência de pontos de inflexão.

Exame Nacional de Matemática 12º Ano 2ª Fase 2012 - Grupo 2 - Exercício 4→

Exame Nacional de Matemática 12º Ano 2ª Fase 2012 - Grupo 1 - Exercício 6

Seja uma função de domínio $\mathbb{R}$ .

Sabe-se que:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {f\left( x \right) - 2x} \right) = 1$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = 3$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = + \infty$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = 2$