Exercicios de Matematica 12 ANO - Função Exponencial - Exercício 2

Determine, em $\mathbb{R}$ , o conjunto solução de cada uma das seguintes condições:

1. $2^{5-x}-64=0$

2. $3^{8x}=9^{x^{2}+3}$

3. $log_{3}(8+x^{2})=2+log_{3}x$

4. $log_{4}(3x+2)>2+log_{4}(1-2x)$

Resolução do exercício de matemática:

$2^{5-x}-64=0 \Leftrightarrow 2^{5-x}=64 \Leftrightarrow 2^{5-x}=2^{6} \Leftrightarrow 5-x=6 \Leftrightarrow x=-1$

$S=\left \{ -1 \right \}$

$3^{8x}=9^{x^{2}}+3 \Leftrightarrow 3^{8x}=(3^{2})^{^{x^{2}+3}} \Leftrightarrow 3^{8x}=3^{2x^{2}+6} \Leftrightarrow 8x=2x^{2}+6 \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow -2x^{2}+8x -6 =0 \Leftrightarrow x^{2}-4x+3=0 \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow x= \frac{4\pm \sqrt{16-4\times 1\times 3}}{2} \Leftrightarrow x=\frac{4\pm 2}{2} \Leftrightarrow x=3 \texttt{ } \vee \texttt{ } x=1$

$S=\left \{ 1;3 \right \}$

$D=\left \{ x \in \mathbb{R}: 8+x^{2}>0 \texttt{ } \wedge \texttt{ } x>0\right \}=\mathbb{R}^{^{+}}$

$log_{3}(8+x^{2})=2+log_{3}(x) \Leftrightarrow log_{3}(8+x^{2})=log_{3}(3^{2})+log_{3}(x) \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow log_{3}(8+x^{2})=log_{3}(9)+log_{3}(x) \Leftrightarrow log_{3}(8+x^{2})=log_{3}(9x) \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow 8+x^{2}=9x \Leftrightarrow x^{2}-9x+8=0 \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow x=\frac{9\pm \sqrt{81-4 \times 1 \times 8}}{2} \Leftrightarrow x=\frac{9 \pm 7}{2}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow x=8\texttt{ } \vee \textup{ }x=1$

$S=\left \{ 1;8 \right \}$

$D=\left \{ x \in \mathbb{R}: 3x+2>0 \texttt{ } \wedge \texttt{ } 1-2x>0\right \}=$

$=\left \{ x \in \mathbb{R}: x>-\frac{2}{3} \texttt{ } \wedge \texttt{ } x<\frac{1}{2} \right \}=\left ] -\frac{2}{3};\frac{1}{2} \right [$

$log_{4}(3x+2)>2+log_{4}(1-2x) \Leftrightarrow log_{4}(3x+2)>log_{4}(4^{2})+log_{4}(1-2x)\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow log_{4}(3x+2)>log_{4}(16)+log_{4}(1-2x)\Leftrightarrow log_{4}(3x+2)>log_{4}(16-32x) \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow 3x+2>16-32x \Leftrightarrow 35x>14 \Leftrightarrow x>\frac{14}{35} \Leftrightarrow x>\frac{2}{5}$

$S=\left ] \frac{2}{5};\frac{1}{2} \right [$

Atividades Relacionadas