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Exame Nacional de Matemática B 1ª Fase 2011 - Grupo 3 - Exercício 1

exame b g3 exercicio1 01

 

Almada Negreiros, escritor e artista plástico, concebeu, no final da década de 1950, um conjunto de quadros de natureza abstracta, nos quais a Geometria e o Número são o tema central.

A Figura 3 apresenta uma fotografia de um desses quadros,
A Porta da Harmonia, um óleo sobre tela, pintado a preto e branco.
A Figura 4, que não está à escala, mostra uma composição geométrica representativa do quadro, constituída pelos quadrados [OPQR], [ABCD], [EFGH] e [IFJL] e posicionada no primeiro quadrante de um referencial ortogonal e monométrico xOy.
Os lados [OP] e [OR] do quadrado [OPQR] estão contidos,
respetivamente, no semieixo positivo Ox e no semieixo
positivo Oy desse referencial.

Considere que:
• [ABCD] está inscrito em [OPQR]
• o ponto B tem coordenadas (14 , 6)
• o ponto A tem abcissa 6
• os vértices de [EFGH] são os pontos médios
dos lados de [ABCD]
• [IFJL] está contido em [ABCD]
• a razão de semelhança entre [EFGH] e [IFJL]
é \sqrt 2
• o ponto M é o ponto de interseção de [EF]
com [IL]

 

1.  Mostre que \overline {AD} = 10.

 

2. Mostre que o comprimento do lado do quadrado [IFJL] é exatamente metade do comprimento do lado do quadrado [ABCD].

Sugestão – Na sua resposta, poderá começar por calcular o comprimento do lado do quadrado [EFGH] e utilizar a razão de semelhança entre os quadrados [EFGH] e [IFJL] para calcular o comprimento do lado do quadrado [IFJL].

 

3.  Admita que o quadrado [IFJL] pode rodar em torno do ponto F, de modo a \overline {IM} tomar valores entre 0 e 5, e que, nesse movimento, o triângulo [IFM] se mantém não sombreado.

Considere \overline {IM} = k.


Seja a função real de variável real definida por

g\left( k \right) = 75 - 5k com 0 \leqslant k \leqslant 5

Para cada valor de k, a função g permite obter a área da parte da composição representada a sombreado.


Existe algum valor de k para o qual a área da parte da composição representada a sombreado corresponda a 40% da área do quadrado [OPQR]?


Justifique a sua resposta.

 

Resolução do exercício de matemática:


1. 

\overline {AD} = \overline {AB}

A\left( {6,0} \right) B\left( {14,6} \right)

\overline {AB} = \sqrt {{{\left( {14 - 6} \right)}^2} + {{\left( {6 - 0} \right)}^2}} = \sqrt {100} = 10

Logo, \overline {AD} = 10.

 

2.

\overline {AE} = \overline {AF} = 5

{\overline {EF} ^2} = {5^2} + {5^2} \Leftrightarrow {\overline {EF} ^2} = 50 \Rightarrow \overline {EF} = \sqrt {50} \Leftrightarrow \overline {EF} = 5\sqrt 2

Como a razão de semelhança entre os quadrados [EFGH] e [IFJL] é \sqrt 2 , tem-se que:

\overline {IF} = \frac{{5\sqrt 2 }}{{\sqrt 2 }} = 5

Logo, \overline {IF} = \frac{{\overline {AB} }}{2}.

Logo, o comprimento do lado do quadrado [IFJL] é metade do comprimento do lado do quadrado [ABCD].

 

3.

A área do quadrado [OPQR] é igual a 14x14=196.

desta área é igual a 0,4x196=78,4.

g\left( k \right) = 78,4 \Leftrightarrow 75 - 5k = 78,4 \Leftrightarrow - 5k = 3,4 \Leftrightarrow k = - 0,68

impossível , uma vez que 0 \leqslant k \leqslant 5.

Logo, não existe nenhum valor de para o qual a área da parte da composição representada a sombreado corresponda a 40% da área do quadrado [OPQR].

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