Exame Nacional de Matemática B 2ª Fase 2011 - Grupo 4

 Numa determinada região, existe um lago natural onde foram efetuadas descargas de resíduos poluentes.

Uma associação ambientalista detetou que a concentração, na água desse lago, de uma determinada substância poluente era muito elevada, o que punha em risco a sobrevivência de algumas espécies aí existentes, entre as quais a truta.

1. No início do ano de 1995, começaram a ser implementadas diversas medidas para diminuir a concentração da substância poluente e, assim, melhorar a qualidade da água desse lago.
Admita que a concentração da substância poluente, , em miligramas por metro cúbico de água, anos após o início do ano de 1995, é dada por

para

1.1 Determine o ano em que a concentração da substância poluente existente na água do lago ficou reduzida a metade do seu valor inicial.

1.2 Existe um único instante em que a taxa de variação instantânea da função muda de sinal, passando de positiva a negativa. Interprete, no contexto do problema, o significado desse instante.

2. O número de trutas existentes no lago diminuiu acentuadamente em consequência das descargas de resíduos poluentes. Alguns anos depois de as descargas terem ocorrido, procedeu-se ao repovoamento do lago com exemplares desta espécie.

Admita queo número de trutas existentes no lago, , em milhares, semanas após o início do repovoamento, é dado, aproximadamente, por

para

2.1 Mostre que, de acordo com o modelo apresentado, entre a segunda e a oitava semanas, se registou um aumento médio de 950 trutas, por semana.

2.2 O número de trutas existentes no lago, imediatamente antes de ocorrerem as descargas de resíduos poluentes, foi estimado em 22 000. Averigue se, de acordo com o modelo apresentado, o número de trutas no lago poderá vir a atingir o valor que foi estimado para a população de trutas existentes no lago imediatamente antes de ocorrerem as referidas descargas. Justifique a sua resposta, usando propriedades da função .

3. Perto do lago, existe um sistema integrado de vários aquários. Em cada um dos aquários do sistema, vivem, em equilíbrio, diferentes espécies aquáticas.

A equipa de biólogos responsável pelo sistema tem como objetivo a preservação e o estudo dessas espécies, e utiliza o conceito de diversidade biológica.

Admita que a diversidade biológica, , de um ecossistema, no qual vivem espécies com igual número de efetivos, é dada por , sendo um número inteiro positivo.

Num aquário, os biólogos pretendem colocar espécies diferentes com igual número de efetivos.

Determine, de acordo com as condições referidas, o número mínimo de espécies que é necessário colocar no aquário, de modo que a diversidade nesse aquário não seja inferior a 4,3.