Exame Nacional de Matemática 12º Ano 2ª Fase 2012 - Grupo 2 - Exercício 6

Na figura 4, está representado o quadrado $\left[ {ABCD} \right]$ .

exame-matA-fase2-2012-ex6

Sabe-se que:

$\overline {AB} = 4$
$\overline {AE} = \overline {AH} = \overline {BE} = \overline {BF} = \overline {CF} = \overline {CG} = \overline {DG} = \overline {DH}$
é a amplitude, em radianos, do ângulo
$x \in \left] {0,\frac{\pi }{4}} \right[$

1. Mostre que a área da região sombreada é dada, em função de , por

$a\left( x \right) = 16\left( {1 - \operatorname{tg} x} \right)$ .

2. Mostre que existe um valor de compreendido entre $\frac{\pi }{{12}}$ e $\frac{\pi }{5}$ para o qual a área da região sombreada é 5.

Se utilizar a calculadora em eventuais cálculos numéricos, sempre que proceder a arredondamentos, use duas casas decimais.

Resolução do exercício de matemática:

Os triângulos $\left[ {ABE} \right]$ , $\left[ {BCF} \right]$ , $\left[ {CDG} \right]$ e $\left[ {DAH} \right]$ são geometricamente iguais.

Seja M o ponto médio de $\left[ {AB} \right]$ .

$\operatorname{tg} x = \frac{{\overline {ME} }}{{\overline {AM} }} \Leftrightarrow \operatorname{tg} x = \frac{{\overline {ME} }}{2} \Leftrightarrow \overline {ME} = 2\operatorname{tg} x$

${A_{\vartriangle \left[ {ABE} \right]}} = \frac{{4 \times 2\operatorname{tg} x}}{2} = 4\operatorname{tg} x$

${A_{\square \left[ {ABCD} \right]}} = {4^2} = 16$

$a\left( x \right) = 16 - 4 \times 4\operatorname{tg} x = 16 - 16\operatorname{tg} x = 16\left( {1 - \operatorname{tg} x} \right)$

A função é contínua em $\left] {0,\frac{\pi }{4}} \right[$ , pelo que também é contínua em $\left[ {\frac{\pi }{{12}},\frac{\pi }{5}} \right]$ .

$a\left( {\frac{\pi }{{12}}} \right) = 16\left( {1 - \operatorname{tg} \frac{\pi }{{12}}} \right) \approx 11,71$

$a\left( {\frac{\pi }{5}} \right) = 16\left( {1 - \operatorname{tg} \frac{\pi }{5}} \right) \approx 4,38$

Como $a\left( {\frac{\pi }{5}} \right) < 5 < a\left( {\frac{\pi }{{12}}} \right)$ , então pelo Teorema de Bolzano, existe pelo menos um $x \in \left] {\frac{\pi }{{12}},\frac{\pi }{5}} \right[$ , tal que $a\left( x \right) = 5$ .