Exame Nacional de Matemática 12º Ano 1ª Fase 2013 - Grupo 2 - Exercício 7

Considere, para um certo número real positivo, uma função , contínua, de domínio $\left[ { - a,a} \right]$ .

Sabe-se que $f\left( { - a} \right) = f\left( a \right)$ e $f\left( a \right) > 0$ .

Mostre que a condição $f\left( x \right) = f\left( {x + a} \right)$ tem, pelo menos, uma solução em $\left] { - a,0} \right[$ .

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Exame Nacional de Matemática 12º Ano 1ª Fase 2013 - Grupo 2 - Exercício 6

Considere a função , de domínio $\left] { - \frac{\pi }{2},0} \right[$ , definida por $g\left( x \right) = \operatorname{sen} \left( {2x} \right) - \cos x$ .

Seja um número real do domínio de .

A reta tangente ao gráfico da função no ponto de abcissa é paralela à reta de equação $y = \frac{x}{2} + 1$ .

Determine o valor de , recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora.

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Exame Nacional de Matemática 12º Ano 1ª Fase 2013 - Grupo 2 - Exercício 5

Na figura 2, está representada, num referencial ortogonal xOy , parte do gráfico de uma função polinomial , de grau 3.

exame-matA-fase1-2013-ex51

Sabe-se que:

-1 e 2 são os únicos zeros da função ;
a primeira derivada de uma certa função , tem domínio $\mathbb{R}$ e é definida por $g'\left( x \right) = f\left( x \right) \times {e^{ - x}}$ ;
$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {g\left( x \right) - 2} \right] = 0$ .

Apenas uma das opções seguintes pode representar a função .

exame-matA-fase1-2013-ex52

Nota - Em cada uma das opções estão representadas parte do gráfico de uma função e, a tracejado, uma assíntota desse gráfico.

Elabore uma composição na qual:

identifique a opção que pode representar a função ;
apresente as razões para rejeitar as restantes opções.

Apresente três razões diferentes, uma por cada gráfico rejeitado.

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Exame Nacional de Matemática 12º Ano 1ª Fase 2013 - Grupo 2 - Exercício 4

Considere a função , de domínio $\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}$ , definida por:

$f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{{e^x} - 1}}{{{e^{4x}} - 1}}}&{{\text{se}}}&{x < 0}\\ {x\ln \left( x \right)}&{{\text{se}}}&{x > 0} \end{array}} \right.$

Resolva os itens 4.1. e 4.2., recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora.

1. Estude a função quanto à existência de assíntotas verticais do seu gráfico.

2. Seja a função, de domínio ${\mathbb{R}^ + }$ , definida por $g\left( x \right) = f\left( x \right) - x + {\ln ^2}x$ .

Estude a função quanto à monotonia e quanto à existência de extremos relativos em $\left] {0,e} \right]$ .

3. Resolva este item recorrendo à calculadora.

Considere num referencial o.n. xOy , a representação gráfica da função , de domínio ${\mathbb{R}^ + }$ , definida por $g\left( x \right) = f\left( x \right) - x + {\ln ^2}x$ .

Sabe-se que:

A é o ponto de coordenadas $\left( {2,0} \right)$
B é o ponto de coordenadas $\left( {5,0} \right)$
P é um ponto que se desloca ao longo do gráfico da função .

Para cada posição do ponto P, considere o triângulo [ABP].

Determine as abcissas dos pontos P para os quais a área do triângulo [ABP] é 1.

Na sua resposta, deve:

equacionar o problema;
reproduzir o gráfico da função ou os gráficos das funções que tiver necessidade de visualizar na calculadora, devidamente identificado(s), incluindo o referencial;
indicar as coordenadas dos pontos P com arredondamento às centésimas.

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Exame Nacional de Matemática 12º Ano 1ª Fase 2013 - Grupo 2 - Exercício 3

Seja $\Omega$ o espaço de resultados associado a uma certa experiência aleatória.

Sejam e dois acontecimentos ( $A \subset \Omega$ e $B \subset \Omega$ ).

Sabe-se que:

$P\left( B \right) = \frac{1}{4}$
$P\left( {\overline A \cup \overline B } \right) = \frac{{15}}{{16}}$
$P\left( {A|\overline B } \right) = \frac{7}{{12}}$

Determine $P\left( A \right)$ .

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Exame Nacional de Matemática 12º Ano 1ª Fase 2013 - Grupo 2 - Exercício 2

Uma caixa contém apenas bolas brancas e bolas pretas, indistinguíveis ao tato.

Todas as bolas estão numeradas com um único número natural.

Sabe-se que:

duas bolas em cada cinco são pretas;
$20\%$ das bolas pretas têm um número par;
$40\%$ das bolas brancas têm um número ímpar.

1. Retira-se, ao acaso, uma bola dessa caixa.

Determine a probabilidade de essa bola ser preta, sabendo que tem um número par.

Apresente o resultado na forma de fração irredutível.

2. Admita agora que a caixa tem bolas.

Extraem-se, ao acaso, sucessivamente e sem reposição, duas bolas da caixa.

Determine , sabendo que a probabilidade de ambas as bolas serem brancas é igual a $\frac{7}{{20}}$ .

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Exame Nacional de Matemática 12º Ano 1ª Fase 2013 - Grupo 2 - Exercício 1

Em $\mathbb{C}$ , conjunto dos números complexos, considere ${z_1} = \sqrt 2 + 2\operatorname{cis} \frac{{3\pi }}{4}$ e ${z_2} = 1 + i$ .

1. Sabe-se que $\frac{{{z_1}}}{{{z_2}}}$ é uma raiz quarta de um certo número complexo .

Determine na forma algébrica, sem utilizar a calculadora.

2. Seja ${z_3} = \operatorname{cis} \alpha$ .

Determine o valor de $\alpha$ pertencente ao intervalo $\left] { - 2\pi , - \pi } \right[$ , sabendo que ${z_3} + \overline {{z_2}}$ é um número real.

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Exame Nacional de Matemática 12º Ano 1ª Fase 2013 - Grupo 1 - Exercício 8

Em $\mathbb{C}$ , conjunto dos números complexos, considere z = - 8 + 6i e $w = \frac{{ - i \times {z^2}}}{{\bar z}}$ .

Seja $\alpha$ um argumento do número complexo .

Qual das opções seguintes é verdadeira?

(A) $w = 10\operatorname{cis} \left( {3\alpha - \frac{\pi }{2}} \right)$

(B) $w = 2\operatorname{cis} \left( {3\alpha - \frac{\pi }{2}} \right)$

(D) $w = 2\operatorname{cis} \left( {\alpha - \frac{\pi }{2}} \right)$

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Exame Nacional de Matemática 12º Ano 1ª Fase 2013 - Grupo 1 - Exercício 7

Na Figura 1, estão representadas, no plano complexo, as imagens geométricas de quatro números complexos: ${w_1}$ , ${w_2}$ , ${w_3}$ e ${w_4}$ .

exame12-2013-fase1-ex7

Qual é o número complexo que, com $n \in \mathbb{N}$ , pode ser igual a ${i^{8n}} \times {i^{8n - 1}} + {i^{8n - 2}}$ ?

(A) ${w_1}$

(B) ${w_2}$

(D) ${w_4}$

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Exame Nacional de Matemática 12º Ano 1ª Fase 2013 - Grupo 1 - Exercício 6

Considere, para um certo número real superior a 1, as funções e , de domínio $\mathbb{R}$ , definidas por $f\left( x \right) = {a^x}$ e $g\left( x \right) = {a^{ - x}}$ .