Exame Nacional de Matemática 12º Ano 1ª Fase 2013 - Grupo 1 - Exercício 8

Em $\mathbb{C}$ , conjunto dos números complexos, considere z = - 8 + 6i e $w = \frac{{ - i \times {z^2}}}{{\bar z}}$ .

Seja $\alpha$ um argumento do número complexo .

Qual das opções seguintes é verdadeira?

(A) $w = 10\operatorname{cis} \left( {3\alpha - \frac{\pi }{2}} \right)$

(B) $w = 2\operatorname{cis} \left( {3\alpha - \frac{\pi }{2}} \right)$

(D) $w = 2\operatorname{cis} \left( {\alpha - \frac{\pi }{2}} \right)$

Solução: (A)

$\left| z \right| = \sqrt {{{\left( { - 8} \right)}^2} + {6^2}} = \sqrt {64 + 36} = \sqrt {100} = 10$

$\arg \left( z \right) = \alpha$

Logo, $z = 10\operatorname{cis} \alpha$ .

Tem-se que:

$- i = \operatorname{cis} \left( { - \frac{\pi }{2}} \right)$

$\bar z = 10\operatorname{cis} \left( { - \alpha } \right)$

${z^2} = {10^2}\operatorname{cis} \left( {2\alpha } \right) = 100\operatorname{cis} \left( {2\alpha } \right)$

$w = \frac{{ - i \times {z^2}}}{{\bar z}} = \frac{{\operatorname{cis} \left( { - \frac{\pi }{2}} \right) \times 100\operatorname{cis} \left( {2\alpha } \right)}}{{10\operatorname{cis} \left( { - \alpha } \right)}} = \frac{{100\operatorname{cis} \left( {2\alpha - \frac{\pi }{2}} \right)}}{{10\operatorname{cis} \left( { - \alpha } \right)}} =$

$= 10\operatorname{cis} \left( {2\alpha - \frac{\pi }{2} - \left( { - \alpha } \right)} \right) = 10\operatorname{cis} \left( {2\alpha - \frac{\pi }{2} + \alpha } \right) = 10\operatorname{cis} \left( {3\alpha - \frac{\pi }{2}} \right)$