Exame Nacional de Matemática 12º Ano 1ª Fase 2013 - Grupo 2 - Exercício 5

Na figura 2, está representada, num referencial ortogonal xOy , parte do gráfico de uma função polinomial , de grau 3.

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Sabe-se que:

-1 e 2 são os únicos zeros da função ;
a primeira derivada de uma certa função , tem domínio $\mathbb{R}$ e é definida por $g'\left( x \right) = f\left( x \right) \times {e^{ - x}}$ ;
$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {g\left( x \right) - 2} \right] = 0$ .

Apenas uma das opções seguintes pode representar a função .

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Nota - Em cada uma das opções estão representadas parte do gráfico de uma função e, a tracejado, uma assíntota desse gráfico.

Elabore uma composição na qual:

identifique a opção que pode representar a função ;
apresente as razões para rejeitar as restantes opções.

Apresente três razões diferentes, uma por cada gráfico rejeitado.

Resolução do exercício de matemática:

A tabela de monotonia da função é a seguinte:

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A opção que pode representar a função é a IV.

Rejeita-se a opção I, uma vez que nesta representação gráfica a derivada no ponto de abcissa -1 é negativa e deveria ser 0.

Rejeita-se a opçãoI I, uma vez que nesta representação gráfica existe um máximo relativo para x = 2 e deveria ser um mínimo relativo, de acordo com a tabela anterior.

Rejeita-se a opção III, uma vez que $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {g\left( x \right) - 2} \right] = 0 \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } g\left( x \right) = 2$ , isto é, a reta de equação y = 2 é assíntota horizontal do gráfico de .