Exame Nacional de Matemática 12º Ano 1ª Fase 2013 - Grupo 2 - Exercício 2

Uma caixa contém apenas bolas brancas e bolas pretas, indistinguíveis ao tato.

Todas as bolas estão numeradas com um único número natural.

Sabe-se que:

duas bolas em cada cinco são pretas;
$20\%$ das bolas pretas têm um número par;
$40\%$ das bolas brancas têm um número ímpar.

1. Retira-se, ao acaso, uma bola dessa caixa.

Determine a probabilidade de essa bola ser preta, sabendo que tem um número par.

Apresente o resultado na forma de fração irredutível.

2. Admita agora que a caixa tem bolas.

Extraem-se, ao acaso, sucessivamente e sem reposição, duas bolas da caixa.

Determine , sabendo que a probabilidade de ambas as bolas serem brancas é igual a $\frac{7}{{20}}$ .

Resolução do exercício de matemática:

1. Sejam:

A: “a bola é preta”

B: “a bola tem um número ímpar”

$P\left( A \right) = \frac{2}{5}$

$P\left( {\overline A } \right) = 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$

$P\left( {\overline B |A} \right) = 0,2 = \frac{1}{5}$

$P\left( {B|\overline A } \right) = 0,4 = \frac{2}{5}$

$P\left( {\overline B |\overline A } \right) = 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$

$P\left( {A|\overline B } \right) = \frac{{P\left( {A \cap \overline B } \right)}}{{P\left( {\overline B } \right)}} = \frac{{P\left( {A \cap \overline B } \right)}}{{P\left( {A \cap \overline B } \right) + P\left( {\overline A \cap \overline B } \right)}} =$

$= \frac{{P\left( {\overline B |A} \right) \times P\left( A \right)}}{{P\left( {\overline B |A} \right) \times P\left( A \right) + P\left( {\overline B |\overline A } \right) \times P\left( {\overline A } \right)}} = \frac{{\frac{1}{5} \times \frac{2}{5}}}{{\frac{1}{5} \times \frac{2}{5} + \frac{3}{5} \times \frac{3}{5}}} =$

$= \frac{{\frac{2}{{25}}}}{{\frac{2}{{25}} + \frac{9}{{25}}}} = \frac{{\frac{2}{{25}}}}{{\frac{{11}}{{25}}}} = \frac{2}{{11}}$

2. Das bolas que a caixa contém $\frac{2}{5}n$ são pretas e $\frac{3}{5}n$ são brancas.

$\frac{7}{{20}} = \frac{{\frac{3}{5}n}}{n} \times \frac{{\frac{3}{5}n - 1}}{{n - 1}} \Leftrightarrow \frac{7}{{20}} = \frac{3}{5} \times \frac{{\frac{3}{5}n - 1}}{{n - 1}} \Leftrightarrow \frac{{\frac{7}{{20}}}}{{\frac{3}{5}}} = \frac{{\frac{3}{5}n - 1}}{{n - 1}} \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow \frac{{35}}{{60}} = \frac{{\frac{3}{5}n - 1}}{{n - 1}} \Leftrightarrow \frac{7}{{12}} = \frac{{\frac{3}{5}n - 1}}{{n - 1}} \Leftrightarrow 7n - 7 = \frac{{36}}{5}n - 12 \Leftrightarrow$