Exame Nacional de Matemática 12º Ano 2ª Fase 2012 - Grupo 2 - Exercício 6

Na figura 4, está representado o quadrado $\left[ {ABCD} \right]$ .

exame-matA-fase2-2012-ex6

Sabe-se que:

$\overline {AB} = 4$
$\overline {AE} = \overline {AH} = \overline {BE} = \overline {BF} = \overline {CF} = \overline {CG} = \overline {DG} = \overline {DH}$
é a amplitude, em radianos, do ângulo
$x \in \left] {0,\frac{\pi }{4}} \right[$

1. Mostre que a área da região sombreada é dada, em função de , por

$a\left( x \right) = 16\left( {1 - \operatorname{tg} x} \right)$ .

2. Mostre que existe um valor de compreendido entre $\frac{\pi }{{12}}$ e $\frac{\pi }{5}$ para o qual a área da região sombreada é 5.

Se utilizar a calculadora em eventuais cálculos numéricos, sempre que proceder a arredondamentos, use duas casas decimais.

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Exame Nacional de Matemática 12º Ano 2ª Fase 2012 - Grupo 2 - Exercício 5

Considere a função , de domínio $\left[ { - 7,0} \right[$ , definida por:

$f\left( x \right) = {e^x} + \ln \left( {{x^2}} \right) + 3$

Sejam A e B os pontos de intersecção do gráfico de com a bissetriz dos quadrantes pares, e seja

a distância entre os pontos A e B.

Determine , recorrendo à calculadora gráfica.

Na sua resposta, deve:

reproduzir o gráfico da função ou os gráficos das funções que tiver necessidade de visualizar na calculadora, devidamente identificado(s), incluindo o referencial;
assinalar os pontos A e B;
indicar as coordenadas dos pontos A e B com arredondamento às centésimas;
apresentar o valor de com arredondamento às centésimas.

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Exame Nacional de Matemática 12º Ano 2ª Fase 2012 - Grupo 2 - Exercício 4

Considere a função , de domínio $\mathbb{R}$ , definida por:

$f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{\operatorname{sen} x}}{{1 - \sqrt {1 - {x^3}} }}}&{{\text{se}}}&{x < 0}\\{1 - {e^{k + 1}}}&{{\text{se}}}&{x = 0}\\{\frac{{1 - {e^{4x}}}}{x}}&{{\text{se}}}&{x > 0}\end{array}} \right.$

com $k \in \mathbb{R}$ .

Resolva os itens seguintes, recorrendo a métodos exclusivamente analíticos.

1. Determine , de modo que $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = f\left( 0 \right)$ .

2. Estude a função quanto à existência de assíntotas verticais do seu gráfico.

3. Seja uma função de domínio ${\mathbb{R}^ + }$ , cuja derivada , de domínio ${\mathbb{R}^ + }$ é dada por $g'\left( x \right) = f\left( x \right) - & \frac{1}{x}$ .

Estude a função quanto ao sentido das concavidades do seu gráfico e quanto à existência de pontos de inflexão.

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Exame Nacional de Matemática 12º Ano 2ª Fase 2012 - Grupo 2 - Exercício 3

Seja $\Omega$ o espaço de resultados associado a uma certa experiência aleatória, e sejam A e B dois acontecimentos ( $A \subset \Omega$ e $B \subset \Omega$ ), com $P\left( B \right) \ne 0$ .

Mostre que $P\left( {\overline {A \cap B} |B} \right) + P\left( {A|B} \right) = 1$ .

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Exame Nacional de Matemática 12º Ano 2ª Fase 2012 - Grupo 2 - Exercício 2

A empresa AP comercializa pacotes de açúcar.

1. Seja Y a variável aleatória «massa, em gramas, de um pacote de açúcar comercializado pela empresa AP».

A variável aleatória Y segue uma distribuição normal de valor médio 6,5 gramas e desvio padrão 0,4 gramas.

Um pacote de açúcar encontra-se em condições de ser comercializado se a sua massa estiver compreendida entre 5,7 gramas e 7,3 gramas.

Determine o valor aproximado da probabilidade de, em 10 desses pacotes de açúcar, exatamente oito estarem em condições de ser comercializados.

Apresente o resultado na forma de dízima, com aproximação às milésimas.

2. Considere o problema seguinte.

«A empresa AP pretende aplicar, junto dos seus funcionários, um programa de reeducação alimentar.

De entre os 500 funcionários da empresa AP vão ser selecionados 30 para formarem um grupo para

frequentar esse programa.

A Joana e a Margarida são irmãs e são funcionárias da empresa AP.

Quantos grupos diferentes podem ser formados de modo que, pelo menos, uma das duas irmãs, a Joana ou a Margarida, não seja escolhida para esse grupo?».

Apresentam-se, em seguida, duas respostas corretas.

I) ${}^{500}{C_{30}} - {}^{498}{C_{28}}$ II) $2 \times {}^{498}{C_{29}} + {}^{498}{C_{30}}$

Numa composição, apresente o raciocínio que conduz a cada uma dessas respostas.

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Exame Nacional de Matemática 12º Ano 2ª Fase 2012 - Grupo 2 - Exercício 1

Seja $\mathbb{C}$ o conjunto dos números complexos.

1. Seja um número natural.

Determine $\frac{{\sqrt 3 \times {i^{4n - 6}} + 2\operatorname{cis} \left( { - \frac{\pi }{6}} \right)}}{{2\operatorname{cis} \left( {\frac{\pi }{5}} \right)}}$ , sem recorrer à calculadora.

Apresente o resultado na forma trigonométrica.

2. Seja $\alpha \in \left] {\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2}} \right[$ .

Sejam ${z_1}$ e ${z_2}$ dois números complexos tais que ${z_1} = \operatorname{cis} \alpha$ e ${z_2} = \operatorname{cis} \left( {\alpha + \frac{\pi }{2}} \right)$ .

Mostre, analiticamente, que a imagem geométrica de ${z_1} + {z_2}$ , no plano complexo, pertence ao 2.º quadrante.

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Exame Nacional de Matemática 12º Ano 2ª Fase 2012 - Grupo 1 - Exercício 8

Na Figura 3, está representado, no plano complexo, um polígono $\left[ {ABCDEFGHI} \right]$ .

exame-matA-fase2-2012-ex8

Os vértices desse polígono são as imagens geométricas das raízes de índice de um número complexo .

O vértice A tem coordenadas $\left( {0, - 3} \right)$ .

Qual dos números complexos seguintes tem por imagem geométrica o vértice F?

(A) $3\operatorname{cis} \frac{{7\pi }}{{18}}$

(B) $3\operatorname{cis} \frac{{11\pi }}{{18}}$

(D) $3\operatorname{cis} \frac{{5\pi }}{9}$

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Exame Nacional de Matemática 12º Ano 2ª Fase 2012 - Grupo 1 - Exercício 7

Seja um número real, e sejam ${z_1} = 2 + i$ e ${z_2} = 3 - ki$ dois números complexos.

Qual é o valor de para o qual ${z_1} \times \overline {{z_2}}$ é um imaginário puro?

(A) $\frac{3}{2}$

(B) $- \frac{3}{2}$

(C)

(D)

Solução: (D)

${z_1} \times \overline {{z_2}} = \left( {2 + i} \right)\left( {3 + ki} \right) = 6 + 2ki + 3i + k{i^2} =$

$= 6 + \left( {2k + 3} \right)i + k\left( { - 1} \right) = \left( {6 - k} \right) + \left( {2k + 3} \right)i$

Para que ${z_1} \times \overline {{z_2}}$ seja um imaginário puro, $6 - k = 0 \Leftrightarrow k = 6$ .

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Exame Nacional de Matemática 12º Ano 2ª Fase 2012 - Grupo 1 - Exercício 6

Seja uma função de domínio $\mathbb{R}$ .

Sabe-se que:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {f\left( x \right) - 2x} \right) = 1$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = 3$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = + \infty$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = 2$

Em qual das opções seguintes as duas equações definem assíntotas do gráfico da função ?

(A) x = 1 e y = - 2x + 1

(B) x = 1 e y = 2x + 1

(D) y = 2 e y = 2x + 1

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Exame Nacional de Matemática 12º Ano 2ª Fase 2012 - Grupo 1 - Exercício 5

Na Figura 2, está representada, num referencial o.n. xOy , parte do gráfico de uma função , de domínio $\left] { - 6, + \infty } \right[$ , definida por $f\left( x \right) = \ln \left( {\frac{x}{3} + 2} \right)$ .