Exame Nacional de Matemática 12º Ano 1ª Fase 2013 - Grupo 2 - Exercício 6

Considere a função , de domínio $\left] { - \frac{\pi }{2},0} \right[$ , definida por $g\left( x \right) = \operatorname{sen} \left( {2x} \right) - \cos x$ .

Seja um número real do domínio de .

A reta tangente ao gráfico da função no ponto de abcissa é paralela à reta de equação $y = \frac{x}{2} + 1$ .

Determine o valor de , recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora.

Resolução do exercício de matemática:

Como a reta tangente ao gráfico da função no ponto de abcissa é paralela à reta de equação $y = \frac{1}{2}x + 1$ , então o seu declive é igual a $\frac{1}{2}$ .

Queremos determinar tal que $g'\left( a \right) = \frac{1}{2}$ .

$g'\left( x \right) = {\left[ {\operatorname{sen} \left( {2x} \right) - \cos x} \right]^\prime } = 2\cos \left( {2x} \right) - \left( { - \operatorname{sen} x} \right) = 2\cos \left( {2x} \right) + \operatorname{sen} x$

$g'\left( a \right) = \frac{1}{2} \Leftrightarrow 2\cos \left( {2a} \right) + \operatorname{sen} a = \frac{1}{2} \Leftrightarrow 2\left( {{{\cos }^2}a - {{\operatorname{sen} }^2}a} \right) + \operatorname{sen} a = \frac{1}{2} \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow 2\left( {1 - {{\operatorname{sen} }^2}a - {{\operatorname{sen} }^2}a} \right) + \operatorname{sen} a = \frac{1}{2} \Leftrightarrow 2\left( {1 - 2{{\operatorname{sen} }^2}a} \right) + \operatorname{sen} a = \frac{1}{2} \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow - 4{\operatorname{sen} ^2}a + \operatorname{sen} a + \frac{3}{2} = 0 \Leftrightarrow \operatorname{sen} a = \frac{{ - 1 \pm \sqrt {{1^2} - 4 \times \left( { - 4} \right) \times \frac{3}{2}} }}{{2 \times \left( { - 4} \right)}} \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow \operatorname{sen} a = \frac{{ - 1 \pm 5}}{{ - 8}} \Leftrightarrow \operatorname{sen} a = \frac{3}{4} \vee \operatorname{sen} a = - \frac{1}{2}$