Exame Nacional de Matemática 12º Ano 1ª Fase 2013 - Grupo 2 - Exercício 3

Seja $\Omega$ o espaço de resultados associado a uma certa experiência aleatória.

Sejam e dois acontecimentos ( $A \subset \Omega$ e $B \subset \Omega$ ).

Sabe-se que:

$P\left( B \right) = \frac{1}{4}$
$P\left( {\overline A \cup \overline B } \right) = \frac{{15}}{{16}}$
$P\left( {A|\overline B } \right) = \frac{7}{{12}}$

Determine $P\left( A \right)$ .

Resolução do exercício de matemática:

$P\left( B \right) = \frac{1}{4}$

$P\left( {\overline B } \right) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$

$P\left( {\overline A \cup \overline B } \right) = \frac{{15}}{{16}} \Leftrightarrow P\left( {\overline {A \cap B} } \right) = \frac{{15}}{{16}} \Leftrightarrow 1 - P\left( {A \cap B} \right) = \frac{{15}}{{16}} \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow P\left( {A \cap B} \right) = 1 - \frac{{15}}{{16}} \Leftrightarrow P\left( {A \cap B} \right) = \frac{1}{{16}}$

$P\left( {A|\overline B } \right) = \frac{7}{{12}} \Leftrightarrow \frac{{P\left( {A \cap \overline B } \right)}}{{P\left( {\overline B } \right)}} = \frac{7}{{12}} \Leftrightarrow \frac{{P\left( {A \cap \overline B } \right)}}{{\frac{3}{4}}} = \frac{7}{{12}} \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow P\left( {A \cap \overline B } \right) = \frac{3}{4} \times \frac{7}{{12}} \Leftrightarrow P\left( {A \cap \overline B } \right) = \frac{{21}}{{48}} \Leftrightarrow P\left( {A \cap \overline B } \right) = \frac{7}{{16}}$

$P\left( A \right) = P\left( {A \cap B} \right) + P\left( {A \cap \overline B } \right) \Leftrightarrow P\left( A \right) = \frac{1}{{16}} + \frac{7}{{16}} \Leftrightarrow P\left( A \right) = \frac{8}{{16}} \Leftrightarrow$