Exame Nacional de Matemática 12º Ano 2ª Fase 2013 - Grupo 1 - Exercício 8

Considere, em $\mathbb{C}$ , conjunto dos números complexos,a condição

$\frac{3}{2} \leqslant \left| {z - 3 + i} \right| \leqslant 3 \wedge \frac{\pi }{3} \leqslant \arg \left( {z - 3 + i} \right) \leqslant \frac{{2\pi }}{3}$

Considere como $\arg \left( z \right)$ a determinação que pertence ao intervalo $\left[ { - \pi ,\pi } \right[$ .

Qual das opções seguintes pode representar, no plano complexo, o conjunto de pontos definido pela condição dada?

2013-f2-g1-ex8

Solução: (A)

$\frac{3}{2} \leqslant \left| {z - 3 + i} \right| \leqslant 3 \Leftrightarrow \frac{3}{2} \leqslant \left| {z - \left( {3 - i} \right)} \right| \leqslant 3$ representa a coroa circular de centro $\left( {3, - 1} \right)$ e raios $\frac{3}{2}$ e 3.

$\frac{\pi }{3} \leqslant \arg \left( {z - 3 + i} \right) \leqslant \frac{{2\pi }}{3} \Leftrightarrow \frac{\pi }{3} \leqslant \arg \left( {z - \left( {3 - i} \right)} \right) \leqslant \frac{{2\pi }}{3}$ representa a região delimitada pelas semirretas com origem no ponto $\left( {3, - 1} \right)$ e que fazem ângulos de amplitudes $\frac{\pi }{3}$ e $\frac{{2\pi }}{3}$ com a parte positiva do eixo dos .