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Exame Nacional de Matemática 12º Ano 1ª Fase 2014 - Grupo 2 - Exercício 1

Seja $\mathbb{C}$ o conjunto dos números complexos.

1.1. Considere ${z_1} = \frac{{{{\left( { - 1 + \sqrt 3 {\text{ }}i} \right)}^3}}}{{1 - i}}$ e ${z_2} = \operatorname{cis} \alpha$ , com $\alpha \in \left[ {0,\pi } \right[$ .

Determine os valores de $\alpha$ , de modo que ${z_1} \times {\left( {{z_2}} \right)^2}$ seja um número imaginário puro, sem utilizar a calculadora.

1.2. Seja z um número complexo tal que ${\left| {1 + z} \right|^2} + {\left| {1 - z} \right|^2} \leqslant 10$ .

Mostre que $\left| z \right| \leqslant 2$ .

Resolução do exercício de matemática:

1.1.

$\left| { - 1 + \sqrt 3 i} \right| = \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2}} = 2$

$\operatorname{tg} \theta = - \sqrt 3 \wedge \theta \in 2Q \Rightarrow \theta = \frac{{2\pi }}{3}$

$- 1 + \sqrt 3 {\text{ }}i = 2\operatorname{cis} \left( {\frac{{2\pi }}{3}} \right)$

$\left| {1 - i} \right| = \sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} = \sqrt 2$

$\operatorname{tg} \beta = - 1 \wedge \beta \in 4Q \Rightarrow \beta = - \frac{\pi }{4}$

$1 - i = \sqrt 2 \operatorname{cis} \left( { - \frac{\pi }{4}} \right)$

${z_1} = \frac{{{{\left( { - 1 + \sqrt 3 {\text{ }}i} \right)}^3}}}{{1 - i}} = \frac{{{{\left( {2\operatorname{cis} \left( {\frac{{2\pi }}{3}} \right)} \right)}^3}}}{{\sqrt 2 \operatorname{cis} \left( { - \frac{\pi }{4}} \right)}} = \frac{{8\operatorname{cis} \left( {2\pi } \right)}}{{\sqrt 2 \operatorname{cis} \left( { - \frac{\pi }{4}} \right)}} = \frac{8}{{\sqrt 2 }}\operatorname{cis} \left( {2\pi + \frac{\pi }{4}} \right) =$

$= \frac{{8\sqrt 2 }}{2}\operatorname{cis} \left( {\frac{{9\pi }}{4}} \right) = 4\sqrt 2 \operatorname{cis} \left( {\frac{\pi }{4}} \right)$

${z_1} \times {\left( {{z_2}} \right)^2} = 4\sqrt 2 \operatorname{cis} \left( {\frac{\pi }{4}} \right) \times {\left( {\operatorname{cis} \alpha } \right)^2} = 4\sqrt 2 \operatorname{cis} \left( {\frac{\pi }{4}} \right) \times \operatorname{cis} \left( {2\alpha } \right) =$

$= 4\sqrt 2 \operatorname{cis} \left( {\frac{\pi }{4} + 2\alpha } \right)$

Para que ${z_1} \times {\left( {{z_2}} \right)^2}$ seja um número imaginário puro é necessário que:

$\frac{\pi }{4} + 2\alpha = \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow 2\alpha = \frac{\pi }{2} - \frac{\pi }{4} + k\pi ,k \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow 2\alpha = \frac{\pi }{4} + k\pi ,k \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow \alpha = \frac{\pi }{8} + \frac{{k\pi }}{2},k \in \mathbb{Z}$

$k = 0 \Rightarrow \alpha = \frac{\pi }{8}$

$k = 1 \Rightarrow \alpha = \frac{\pi }{8} + \frac{\pi }{2} = \frac{{5\pi }}{8}$

Resposta: $\frac{\pi }{8}$ e $\frac{{5\pi }}{8}$ .

1.2.

Seja z = x + yi , com $x,y \in \mathbb{R}$ .

${\left| {1 + z} \right|^2} + {\left| {1 - z} \right|^2} \leqslant 10 \Leftrightarrow {\left| {1 + x + yi} \right|^2} + {\left| {1 - x - yi} \right|^2} \leqslant 10 \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow {\left( {\sqrt {{{\left( {x + 1} \right)}^2} + {y^2}} } \right)^2} + {\left( {\sqrt {{{\left( {1 - x} \right)}^2} + {{\left( { - y} \right)}^2}} } \right)^2} \leqslant 10 \Leftrightarrow$