Exame Nacional de Matemática 12º Ano 1ª Fase 2014 - Grupo 2 - Exercício 6

Seja uma função cuja derivada , de domínio $\mathbb{R}$ , é dada por $f'\left( x \right) = x - \operatorname{sen} \left( {2x} \right)$ .

6.1. Determine o valor de $\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{2}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {\frac{\pi }{2}} \right)}}{{2x - \pi }}$ .

6.2. Estude o gráfico da função , quanto ao sentido das concavidades e quanto à existência de pontos de inflexão em

$\left] { - \frac{\pi }{2},\frac{\pi }{4}} \right[$ , recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora.

Na sua resposta, deve indicar o(s) intervalo(s) onde o gráfico da função tem concavidade voltada para cima,

o(s) intervalo(s) onde o gráfico da função tem concavidade voltada para baixo e, caso existam, as abcissas

dos pontos de inflexão do gráfico da função .

Resolução do exercício de matemática:

6.1.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{2}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {\frac{\pi }{2}} \right)}}{{2x - \pi }} = \frac{1}{2}\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{2}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {\frac{\pi }{2}} \right)}}{{x - \frac{\pi }{2}}} = \frac{1}{2} \times f'\left( {\frac{\pi }{2}} \right) =$

$= \frac{1}{2}\left( {\frac{\pi }{2} - \operatorname{sen} \pi } \right) = \frac{\pi }{4}$

6.2.

$f''\left( x \right) = {\left( {x - \operatorname{sen} \left( {2x} \right)} \right)^\prime } = 1 - 2\cos \left( {2x} \right)$

$f''\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 1 - 2\cos \left( {2x} \right) = 0 \Leftrightarrow \cos \left( {2x} \right) = \frac{1}{2} \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow \cos \left( {2x} \right) = \cos \left( {\frac{\pi }{3}} \right) \Leftrightarrow 2x = \frac{\pi }{3} + 2k\pi \vee 2x = - \frac{\pi }{3} + 2k\pi ,k \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow x = \frac{\pi }{6} + k\pi \vee x = - \frac{\pi }{6} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}$

Em $\left] { - \frac{\pi }{2},\frac{\pi }{4}} \right[$ , $x = \frac{\pi }{6} \vee x = - \frac{\pi }{6}$

O gráfico de tem a concavidade voltada para cima em $\left] { - \frac{\pi }{2},\frac{\pi }{6}} \right[$ e em $\left] {\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{4}} \right[$ e tem a concavidade voltada para baixo em $\left] { - \frac{\pi }{6},\frac{\pi }{6}} \right[$ ; $x = - \frac{\pi }{6}$ e $x = \frac{\pi }{6}$ são as abcissas dos pontos de inflexão.