Exame Nacional de Matemática 12º Ano 2ª Fase 2011 - Grupo 2 - Exercício 2

A MatFinance é uma empresa de consultoria financeira.

Dos funcionários da MatFinance, sabe-se que:

60% são licenciados;
dos que são licenciados, 80% têm idade inferior a 40 anos;
dos que não são licenciados, 10% têm idade inferior a 40 anos.

Determine a probabilidade de um desses funcionários, escolhido ao acaso, ser licenciado, sabendo que tem idade não inferior a 40 anos.

Apresente o resultado na forma de fração irredutível.

Considere o problema seguinte.

«Foi pedido a 15 funcionários da MatFinance que se pronunciassem sobre um novo horário de trabalho.

Desses 15 funcionários, 9 estão a favor do novo horário, 4 estão contra, e os restantes estão indecisos.

Escolhe-se, ao acaso, 3 funcionários de entre os 15 funcionários considerados.

De quantas maneiras diferentes podem ser escolhidos os 3 funcionários, de forma que pelo menos 2 dos funcionários escolhidos estejam a favor do novo horário de trabalho?»

Apresentam-se, em seguida, duas respostas.

Resposta I: ${}^{15}{C_3} - {}^6{C_3}$ Resposta II: $6 \times {}^9{C_2} + {}^9{C_3}$

Apenas uma das respostas está correta.

Elabore uma composição na qual:

identifique a resposta correta;
explique um raciocínio que conduza à resposta correta;
proponha uma alteração na expressão correspondente à resposta incorreta, de modo a torná-la correta;

explique, no contexto do problema, a razão da alteração proposta.

Resolução do Exercício

Considere os seguintes acontecimentos:

A: “ser licenciado”

B: “ter idade inferior a 40 anos”

exame 2011 f2 exercicio2

$P\left( {A|\overline B } \right) = \frac{{P\left( {A \cap \overline B } \right)}}{{P\left( {\overline B } \right)}} = \frac{{0,12}}{{0,48}} = \frac{1}{4}$

A resposta correta é a II, ou seja, $6 \times {}^9{C_2} + {}^9{C_3}$ .

Ao escolher ao acaso 3 funcionários, de entre um grupo de 15, ter pelo menos
2 funcionários que estejam a favor do novo horário, quer dizer que estes
poderão ser 2 ou 3.

O número de hipóteses de serem os 3 a favor é dado por ${}^9{C_3}$ uma vez que se
escolhem 3 entre os 9 funcionários a favor.

O número de hipóteses de serem apenas 2 a favor entre os 3 escolhidos é dado
por $6 \times {}^9{C_2}$ uma vez que se escolhem 2 entre os 9 a favor e 1 dos 6
funcionários que não são a favor.

Logo, o número total de hipóteses corresponde a $6 \times {}^9{C_2} + {}^9{C_3}$ .

Por outro lado, o acontecimento contrário ao solicitado seria ter 0 ou 1
funcionário a favor do novo horário, de entre os 3 escolhidos ao acaso no
grupo de 15.

O número total de maneiras diferentes de escolher os 3 funcionários entre os
15 é dado por ${}^{15}{C_3}$ .

O número total de maneiras diferentes de entre os 3 funcionários escolhidos
nenhum ser a favor é dado por e ${}^6{C_3}$ e o número total de maneiras diferentes
de entre os 3 funcionários escolhidos apenas 1 ser a favor é dado por $9 \times {}^6{C_2}$ .