Exame Nacional de Matemática 12º Ano 1ª Fase 2011 - Grupo 2 - Exercício 5

Considere a função , de domínio $\mathbb{R}$ , definida por $f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{3}{{x - 1}}}&{{\text{se}}}&{x < 1} \\ {\frac{{2 + \ln x}}{x}}&{{\text{se}}}&{x \geqslant 1} \end{array}} \right.$ .

O gráfico de admite uma assíntota horizontal.

Seja o ponto de interseção dessa assíntota com a reta tangente ao gráfico de no ponto de abcissa .

Determine as coordenadas do ponto recorrendo a métodos exclusivamente analíticos.

Existem dois pontos do gráfico de cujas ordenadas são o cubo das abcissas.

Determine as coordenadas desses pontos recorrendo à calculadora gráfica.

Na sua resposta, deve:

equacionar o problema;
reproduzir o gráfico da função ou os gráficos das funções que tiver necessidade de visualizar na calculadora, devidamente identificado(s), incluindo o referencial;
assinalar esses pontos;
indicar as coordenadas desses pontos com arredondamento às centésimas.

Resolução do Exercício:

Determinar a equação da assíntota horizontal:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{3}{{x - 1}} = \frac{3}{{ - \infty }} = 0$

Logo, y = 0 é a equação da assíntota horizontal do gráfico de .

Ou:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2 + \ln x}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{2}{x} + \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\ln x}}{x} = \frac{2}{{ + \infty }} + 0 = 0 + 0 = 0$

Logo, y = 0 é a equação da assíntota horizontal do gráfico de .

Determinar a equação da reta tangente ao gráfico de no ponto de abcissa :

Para x > 1 tem-se:

$f'\left( x \right) = {\left( {\frac{{2 + \ln x}}{x}} \right)^\prime } = \frac{{\frac{1}{x} \times x - \left( {2 + \ln x} \right) \times 1}}{{{x^2}}} = \frac{{1 - 2 - \ln x}}{{{x^2}}} = \frac{{ - 1 - \ln x}}{{{x^2}}}$

$m = f'\left( e \right) = \frac{{ - 1 - \ln e}}{{{e^2}}} = \frac{{ - 1 - 1}}{{{e^2}}} = \frac{{ - 2}}{{{e^2}}}$

$f\left( e \right) = \frac{{2 + \ln e}}{e} = \frac{{2 + 1}}{e} = \frac{3}{e}$

$\frac{3}{e} = - \frac{2}{{{e^2}}} \times e + b \Leftrightarrow \frac{3}{e} = - \frac{2}{e} + b \Leftrightarrow \frac{5}{e} = b$

$y = - \frac{2}{{{e^2}}}x + \frac{5}{e}$

Determinar as coordenadas do ponto P:

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {y = 0} \\ {y = - \frac{2}{{{e^2}}}x + \frac{5}{e}} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {y = 0} \\ {0 = - \frac{2}{{{e^2}}}x + \frac{5}{e}} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {y = 0} \\ {\frac{2}{{{e^2}}}x = \frac{5}{e}} \end{array}} \right. \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {y = 0} \\ {2x = 5e} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {y = 0} \\ {x = \frac{{5e}}{2}} \end{array}} \right.$