Exame Nacional de Matemática 12º Ano 1ª Fase 2011 - Grupo 2 - Exercício 3

Seja $\Omega$ o espaço de resultados associado a uma certa experiência aleatória, e sejam e dois acontecimentos $\left( {A \subset \Omega {\text{ e }}B \subset \Omega } \right)$ , com $P\left( A \right) \ne 0$ .

Mostre que $P\left( {B|A} \right) \geqslant 1 - \frac{{1 - P\left( B \right)}}{{P\left( A \right)}}$ .

Resolução do Exercício:

Como $P\left( A \right) \geqslant 0$ , tem-se que:

$P\left( {B|A} \right) \geqslant 1 - \frac{{1 - P\left( B \right)}}{{P\left( A \right)}} \Leftrightarrow \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( A \right)}} \geqslant \frac{{P\left( A \right) - 1 + P\left( B \right)}}{{P\left( A \right)}} \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow P\left( {A \cap B} \right) \geqslant P\left( A \right) - 1 + P\left( B \right) \Leftrightarrow 1 \geqslant P\left( A \right) + P\left( B \right) - P\left( {A \cap B} \right) \Leftrightarrow$