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Exame Nacional de Matemática 12º Ano 1ª Fase 2011 - Grupo 2 - Exercício 7

Na Figura 6, está representada, num referencial o. n. xOy , parte do gráfico da função .

exame g2 exercicio7 01

Sabe-se que:

• é uma função contínua em $\mathbb{R}$

• não tem zeros

• a segunda derivada f'' , de uma certa função tem domínio $\mathbb{R}$

e é definida por $f''\left( x \right) = g\left( x \right) \times \left( {{x^2} - 5x + 4} \right)$

• $f\left( 1 \right) \times f\left( 4 \right) > 0$

Apenas uma das opções seguintes pode representar a função .

exame g2 exercicio7 02

Elabore uma composição na qual:

• indique a opção que pode representar

• apresente as razões que o levam a rejeitar as restantes opções

Apresente três razões, uma por cada gráfico rejeitado.

Resolução do Exercício:

• $f''\left( x \right) = g\left( x \right) \times \left( {{x^2} - 5x + 4} \right)$

$g\left( x \right) > 0,\forall x \in \mathbb{R}$

${x^2} - 5x + 4 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{5 \pm \sqrt {{{\left( { - 5} \right)}^2} - 4 \times 1 \times 4} }}{{2 \times 1}} \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow x = \frac{{5 \pm 3}}{2} \Leftrightarrow x = 4 \vee x = 1$

exame g2 exercicio7 03

Logo, $f''\left( x \right) < 0$ em $\left] {1,4} \right[$ ;

Logo, neste intervalo a concavidade tem que estar voltada para baixo, o que não acontece no gráfico I.

• $f\left( 1 \right) \times f\left( 4 \right) > 0$ , logo, $f\left( 1 \right)$ e $f\left( 4 \right)$ têm que ter o mesmo sinal, o que não se verifica no gráfico II.

• Como a função f'' está definida em $\mathbb{R}$ , então a função é contínua em $\mathbb{R}$ , o que não se verifica no gráfico IV.

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