Exame Nacional de Matemática 12º Ano 2ª Fase 2011 - Grupo 2 - Exercício 6

Para $a{\text{ }}{\text{, }}b{\text{ e }}n$ , números reais positivos, considere a função , de domínio $\mathbb{R}$ , definida por:

$\large f\left( x \right) = a\cos \left( {nx} \right) + b\operatorname{sen} \left( {nx} \right)$

Seja f'' a segunda derivada da função.

Mostre que $f''\left( x \right) + {n^2}f\left( x \right) = 0$ , para qualquer número real .

Resolução do Exercício

$f'\left( x \right) = - an\operatorname{sen} \left( {nx} \right) + bn\cos \left( {nx} \right)$

$f''\left( x \right) = - a{n^2}\cos \left( {nx} \right) - b{n^2}\operatorname{sen} \left( {nx} \right)$

$f''\left( x \right) + {n^2}f\left( x \right) = - a{n^2}\cos \left( {nx} \right) - b{n^2}\operatorname{sen} \left( {nx} \right) + {n^2}\left( {a\cos \left( {nx} \right) + b\operatorname{sen} \left( {nx} \right)} \right) =$

$= - a{n^2}\cos \left( {nx} \right) - b{n^2}\operatorname{sen} \left( {nx} \right) + a{n^2}\cos \left( {nx} \right) + b{n^2}\operatorname{sen} \left( {nx} \right) = 0$