Exame Nacional de Matemática 12º Ano 1ª Fase 2012 - Grupo 2 - Exercício 4

Considere a função , de domínio $\mathbb{R}$ , e a função , de domínio $\left] {0, + \infty } \right[$ , definidas por:

$f\left( x \right) = {e^{x - 2}} - \frac{{4{e^{ - x}} + 4}}{{{e^2}}}$ e $g\left( x \right) = - \ln \left( x \right) + 4$

1. Mostre que $\ln \left( {2 + 2\sqrt 2 } \right)$ é o único zero da função , recorrendo a métodos
exclusivamente analíticos.

2. Considere, num referencial o.n. xOy , os gráficos das funções e e o triângulo $\left[ {OAB} \right]$ .

Sabe-se que:

• é a origem do referencial;

• e são pontos do gráfico de ;

• a abcissa do ponto é o zero da função ;

• o ponto é o ponto de interseção do gráfico da função com o gráfico da função .

Determine a área do triângulo $\left[ {OAB} \right]$ , recorrendo à calculadora gráfica.

Na sua resposta, deve:

• reproduzir os gráficos das funções e , devidamente identificado(s), incluindo o referencial;

• assinalar os pontos e ;

• indicar a abcissa do ponto e as coordenadas do ponto com arredondamento às centésimas;

• apresentar o valor da área pedida com arredondamento às décimas.

Resolução do exercício de matemática:

$f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {e^{x - 2}} - \frac{{4{e^{ - x}} + 4}}{{{e^2}}} = 0 \Leftrightarrow {e^{x - 2}} \times {e^2} - \left( {4{e^{ - x}} + 4} \right) = 0 \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow {e^x} - 4{e^{ - x}} - 4 = 0 \Leftrightarrow {e^x} - \frac{4}{{{e^x}}} - 4 = 0 \Leftrightarrow {e^{2x}} - 4 - 4{e^x} = 0 \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow {e^{2x}} - 4{e^x} - 4 = 0 \Leftrightarrow {e^x} = \frac{{4 \pm \sqrt {{{\left( { - 4} \right)}^2} - 4 \times 1 \times \left( { - 4} \right)} }}{{2 \times 1}} \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow {e^x} = \frac{{4 \pm \sqrt {32} }}{2} \Leftrightarrow {e^x} = \frac{{4 \pm 4\sqrt 2 }}{2} \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow \underbrace {{e^x} = 2 - 2\sqrt 2 }_{{\text{imposs\'i vel}}} \vee {e^x} = 2 + 2\sqrt 2 \Leftrightarrow x = \ln \left( {2 + 2\sqrt 2 } \right)$